Nombre perfecte

Article on other languages:

• عدد_مثالي
• Съвършено_число
• নিখুঁত_সংখ্যা
• Niver_peurvat
• Dokonalé_číslo
• Fuldkomne_tal
• Vollkommene_Zahl
• Τέλειος_αριθμός
• Perfect_number
• Perfekta_nombro
• Número_perfecto
• Täydellinen_luku
• Nombre_parfait
• Número_perfecto
• מספר_משוכלל
• Tökéletes_számok
• Bilangan_sempurna
• Fullkomin_tala
• Numero_perfetto
• 完全数
• 완전수
• Nümar_parfett
• Tobulasis_skaičius
• Nummero_perfetto
• Perfect_getal
• Perfekt_tal
• Perfekt_tall
• Liczby_doskonałe
• Número_perfeito
• Număr_perfect
• Совершенное_число
• Nùmmuru_pirfettu
• Perfect_number
• Dokonalé_číslo
• Popolno_število
• Савршен_број
• Perfekt_tal
• จำนวนสมบูรณ์
• Mükemmel_sayı
• Số_hoàn_thiện
• 完全数

	del.icio.us
	Digg
	Furl
	Reddit
	Rojo
	Add to OnlyWire

Un nombre perfecte és un enter que és igual a la suma dels seus divisors positius, excepte ell mateix. Així, 6 és un nombre perfecte, perquè els seus divisors propis són 1, 2 i 3, i 6 = 1 + 2 + 3. Els següents nombres perfectes són 28, 496 i 8.128.

Els nombres perfectes estan relacionats amb els nombres primers de Mersenne: si M és un primer de Mersenne (un nombre primer que és una unitat menor que una potència de 2), aleshores M(M+1)/2 és un nombre perfecte, és a dir, que 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) és un nombre perfecte. Això va ser demostrat per Euclides en el segle IV abans de la nostra era:

per a n = 2:   2¹(2² − 1) = 6

per a n = 3:   2²(2³ − 1) = 28

per a n = 5:   2⁴(2⁵ − 1) = 496

per a n = 7:   2⁶(2⁷ − 1) = 8128

A més, Euler va demostrar en el segle XVIII que tots els nombres perfectes parells són d'aquesta forma. També està demostrat que l'última xifra de qualsevol nombre perfecte parell ha de ser 6 o 8.

No es coneix l'existència de nombres perfectes senars. No obstant això, existeixen alguns resultats parcials: si existeix un nombre perfecte imparell, ha de complir, entre altres les condicions següents: ser major que 10³⁰⁰; tenir almenys 8 factors primers diferents (i com a mínim 11 si no és divisible per 3); un d'aquests factors ha de ser major que 10⁷, dos d'ells han de ser majors que 10.000 i tres han ser majors que 100; tenir, com a mínim, 75 factors primers (incloent-hi repeticions).

Considerant la suma dels divisors propis existeixen altres tipus de nombres.

• Nombres deficients: la suma dels divisors propis és menor que dues vegades el nombre.
• Nombres abundants: la suma és major que dues vegades el nombre.
• Nombres amics: a i b són tals que a és la suma dels divisors de b i viceversa.
• Nombres sociables: com els amics, però amb un cicle major de nombres.

Es pot dir que el nombre perfecte és un nombre amic de si mateix.

Implementació en informàtica

En C++ es pot escriure un codi com el que segueix per tal de trobar si un nombre és perfecte.

int suma_divisors(int n) {
   //funció per a sumar els dígits d'un nombre
   int s = 0; //suma
   int i=1;
   while(i < n){
       if(n%i == 0) s += i;
       ++i;
   }
   return s;
}


bool es_perfecte(int n){
   if(n == 0) return false;
   return n == suma_divisors(n);
}